報名須知

• 請填寫報名表單。(作答狀況是讓我們了解你的程度最有效的方法喔)
• 報名截止日期為 2025/6/13 (五) 23:59 。
• 活動費用為每位學員新台幣 8500 元整 (暫定)，住宿費待定。(附上低收入戶證明，可繳交較少的報名費；同理，附上高收入戶證明，可繳交較多的報名費)。
• 預計招收人數為 30~60 人 (並非實際確定招收人數，會依照報名踴躍狀況以及學生的程度來稍作做調整)，報名結束後並經過工作團隊審查，決定錄取名單。請錄取的學員於錄取名單公佈後一週內完成匯款。
• 我們會根據你的作答狀況、自傳以及競賽經歷來篩選錄取的學員，另外，題目可以與其他人討論，但是禁止任何形式的抄襲。
• 如果你曾經獲選參加第二階段選訓營，則不需繳交解答。

題目

我們特意出了一些不需要數學定理及太深的數學背景便能夠作答的題目，因為我們期望能夠看到的是您的思路過程。然而即便如此，這些題目也並不一定是那麼地容易；事實上，在一題上面耗費幾個小時在更高等的數學和數學競賽中是常有的事情，建議您能先自己探索這些題目的有趣之處。您可以與同儕們討論交流，但請務必以自己的方式寫下證明過程。數學式建議使用 LaTeX 或使用 Word 的數學式編輯器，但記得要轉成 PDF 上傳。

A0

證明對於任意正實數 \(a,b,c\) \[ 4(a^3+b^3+c^3+3)\geq 3(a+1)(b+1)(c+1) \] 恆成立

A1

設 \(a, b, c > 0\)，且 \(a+b+c = 3abc\)，證明 \[ \sum_{cyc} \left(\frac{a}{bc} + \sqrt{bc}\right) \geq \sum_{cyc}\left(a+\sqrt{\frac{1}{bc}}\right) \]

A2

給定奇質數 \(p\), 證明多項式 \(f(x) = (x+1)(x+2)\cdots(x+p)-1\) 在 \(\mathbb Z\) 中不可約 (即不存在兩個非常數整係數多項式 \(g(x), h(x)\) 使得 \(f(x) = g(x)h(x)\))

C0

Alvin 跟 Bao 在一個 \(n\times n\) 棋盤上玩遊戲，Alvin 是先手，兩個人輪流將棋盤上一個格子塗黑，且不能使兩個黑格子相鄰 (相鄰是指有公共邊)，不能操作的人為輸家，請問 \(n\) 為多少時，Alvin 有必勝策略?

C1

在一個 \(5\times 5\) 的方格中，至少要把幾個方格塗黑，使得裡面任意的 \(2\times 3\) 或 \(3\times2\) 方格都有至少兩格被塗黑

C2

求最小的正整數 \(k\) 使得對於所有正整數 \(m,n\)，都有辦法用 L 型三方塊 (兩兩不重疊地) 覆蓋 \(m\times n\) 的方格，使得最多剩下 \(k\) 個格子未被覆蓋

G0

給定三角形\(ABC\)，\(AB < AC\)，\(D\) 在 \(AC\) 上使得 \(\angle ABD = \angle BCD\)，設 \(E\) 是 \(CD\) 中點，\(S\) 是 \(BCD\) 外心，證明 : \(A, B, E, S\) 四點共圓

G1

給定三角形 \(ABC\) 及其外接圓 \(\Gamma\) ，\(P\) 為其內部任一點，\(AP, BP, CP\) 分別交三邊 \(BC, CA, AB\) 於 \(D, E, F\)。\(S\) 在 \(\Gamma\) 上使得 \(S, A, F, E\) 四點共圓。若 \(M\) 為線段 \(EF\) 中點，證明直線 \(SD\) 和 \(AM\) 交在 \(\Gamma\) 上。

G2

給定三角形 \(ABC\) 及其外接圓 \(\Omega\)，設其外心為 \(O\)，垂心為\(H\)，\(A\) 對 \(BC\) 的對稱點為 \(P\)，\(A\) 在 \(\Omega\) 上的對徑點為 \(A'\)，設 \(Q\) 為平面上一點滿足三角形 \(QBC\) 的內心為 \(A'\)，證明 \(OH\) 平行 \(PQ\)

N0

求所有正整數 \(n\) ，使得 \[ 2^n+n^2+1 \] 是完全平方數

N1

求所有正整數 \(n\) 使得 \[ 2\varphi(n)-1 \] 是完全平方數，其中 \(\varphi(n)\) 指的是歐拉函數，也就是 \(1\) 到 \(n\) 中與 \(n\) 互質的正整數個數

N2

給定正整數 \(n>1\)，定義 \(f(n),g(n)\) 分別為 \(n\) 的最大和最小的質因數，若正整數 \(k,w\) 滿足 \[ f(k+i)\geq g(w+i) \] 對於所有正整數 \(i\) 皆成立，證明 \(k=w\)