報名須知

請選擇以下感興趣的題目並繳交題目解答至報名表單。(作答狀況是讓我們了解你的程度最有效的方法喔)
報名截止日期為 2023/6/25（日）23:59 。
活動費用為每位學員新台幣8000元整，住宿費免費。(附上低收入戶證明，可繳交較少的報名費；同理，附上高收入戶證明，可繳交較多的報名費)。
預計招收人數為30~60人(並非實際確定招收人數，會依照報名踴躍狀況以及學生的程度來稍作做調整)，報名結束後並經過工作團隊審查，決定錄取名單。請錄取的學員於錄取名單公佈後一週內完成匯款。
如果你曾經獲選參加第一階段選訓營，則不需繳交解答。(解答部分就傳個空白檔案吧 :D)

題目

　　我們特意出了一些不需要數學定理及太深的數學背景便能夠作答的題目，因為我們期望能夠看到的是您的思路過程。然而即便如此，這些題目也並不一定是那麼地容易；事實上，在一題上面耗費幾個小時在更高等的數學和數學競賽中是常有的事情，建議您能先自己探索這些題目的有趣之處。您可以與同儕們討論交流，但請務必以自己的方式寫下證明過程。數學式建議使用 LaTeX 或使用 Word 的數學式編輯器，但記得要轉成 PDF 上傳。

A0

設$n=\prod\limits_{i=1}^ma_i$，其中$a_1, a_2, \dots, a_m$都是大於$1$的正整數。證明$$\sum\limits_{i=1}^ma_i\leq n$$

A1

設$P(x)$是一個整係數多項式且整數$k$滿足$P(k)=777771449$。若$P(x)$有整數根，是否有可能$P(k)=P(k+2023)$？

A2

找到所有的$f:\mathbb R\to\mathbb R$使得$$f(x^2+f(x)f(y))=(x+y)f(x)$$

C0

平面上有$2n$個點，任$3$點不共線，證明對於任意兩個點，都存在一條直線將兩者分開，並且滿足直線兩邊的點數一樣多。

C1

$n\times m$棋盤上的哈密頓路徑，至少有多少個轉彎？

一條路徑指是以下移動的軌跡：從一個格子開始，每次可以移動到與當前格子有共邊的格子中，最後停在某個格子中。

哈密頓路徑是指經過所有格子恰好一次的路徑。

C2

給定正整數$n$，證明存在有$n$個元素的實數集$A$使得$\forall S\subseteq A$，都存在非$0$實數$c$使得$\forall a\in A,$$$a\in S\iff\lfloor\frac ac\rfloor\equiv0\pmod2$$

G0

設$ABC$是一個以$A$為頂角的等腰三角形。在$CA$上取一點$D$使得$\angle ABD$為直角。令$O$及$H$分別為三角形$DBC$的外心及垂心。證明：$BC$平分線段$\overline{OH}$。

G1

設$ABCDE$是共圓的五邊形，滿足$\triangle ABC$與$\triangle ADE$等面積，$\triangle ABD$與$\triangle ACE$等面積。證明：$\overline{AB} = \overline{AE}$。

G2

$P$為$\triangle ABC$內任一點，$AP,BP,CP$分別交$BC,CA,AB$於$D,E,F$，令$M$為$BC$中點，$\odot (AEF)$與$\odot (ABC)$交於$S$，$SD$交$\odot (ABC)$於$X$，$XM$與$\odot (ABC)$交於$Y$，證明：$AY$為$\odot (AEF)$之切線。

N0

證明對於任意正實數$c$，都存在正整數$n$使得$$\sum_{d|n}d>cn$$

N1

設正整數$a, b$互質且$a-1>b>1$，證明存在正整數$n$使得$$\mathrm{lcm}(a+n, b+n)<\mathrm{}ab$$

N2

對於任意正整數$a, b$，其中$a-b>1$，證明存在無窮多個正整數$n$使得$$n^2|a^n-b^n$$