報名須知(報名已經截止囉)

• 報名截止日期為2022年7月3日(週日)23:59:59秒，報名請進入表單裡面填寫個人資料，並選擇以下感興趣的題目繳交題目解答。(作答狀況是讓我們了解你的程度最有效的方法喔)
• 活動費用為每位學員新台幣8000元整，住宿費3000元整。(附上低收入戶證明，可繳交較少的報名費；同理，附上高收入戶證明，可繳交較多的報名費)。
• 預計招收人數為30~80人(並非實際確定招收人數，會依照報名踴躍狀況以及學生的程度來稍作做調整)，報名結束後並經過工作團隊審查，決定錄取名單。請錄取的學員於錄取名單公佈後一週內完成匯款。
• 如果你曾經獲選參加第一階段選訓營，則不需繳交解答。(解答部分就傳個空白檔案吧 :D)

題目

　　我們特意出了一些不需要數學定理及太深的數學背景便能夠作答的題目，因為我們期望能夠看到的是您的思路過程。然而即便如此，這些題目也並不一定是那麼地容易；事實上，在一題上面耗費幾個小時在更高等的數學和數學競賽中是常有的事情，建議您能先自己探索這些題目的有趣之處。您可以與同儕們討論交流，但請務必以自己的方式寫下證明過程。數學式建議使用 LaTeX 或使用 Word 的數學式編輯器，但記得要轉成 PDF 上傳。

A1

　　\(a_0, a_1\)是非負實數，\(\forall n\geq2, a_n=\lfloor a_{n-1}\rfloor+a_{n-2}\)，已知\(a_0, a_1, a_2, \dots\)有無窮多個值，求\(a_n\)的最小可能值。

A2

　　證明\(\forall x, y\in\mathbb R^+,\ x^y+y^x>1\)。

C1

　　\(n\)顆巧克力，Alice和Bob輪流吃巧克力，由Alice先，每回合可以吃\(6\)或\(2\)或\(5\)顆巧克力，沒辦法吃這樣數量的巧克力的人就輸了。對於哪些\(n\) Alice有必勝策略？

C2

　　在\(7\times7\)的棋盤上有一些蟲，每隻蟲每回合可以選擇一個相鄰的格子，但不能是上回合所在的格子，然後移到那個格子中。每隻蟲會在自己走過的格子上製造巧克力，這些蟲不能走到有別人製造的巧克力的格子，也就是這些蟲只能走自己的路。求最多可以放幾隻蟲，使得這些蟲可以移動無窮多個回合？

G1

　　正七邊形\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7\)，其外接圓為\(\Gamma\)，\(\overline{A_2A_6}\)與\(\overline{A_3A_7}\)交於\(B\)，\(\overleftrightarrow{A_2A_3}\)與\(\overleftrightarrow{A_6A_7}\)交於\(C\)，\(\overrightarrow{A_4B}\)交\(\Gamma\)於另一點\(D\)，證明\(C, D, A_5\)共線。

G2

　　給定三角形\(ABC\)，作\(A\)對\(BC\)的垂線交外接圓於\(H'\)，\(ABC\)的外心\(O\)與\(O\)對\(BC\)的對稱點\(O'\)。令\(OO'H'\)外接圓交\(ABC\)外接圓於另一點\(E\)。證明：\(O'E\perp AE\)。

N1

　　證明\(\forall n<m,\ \gcd(2^{2^n}+1, 2^{2^m}+1)=1\)。

N2

　　求所有正整數\(a, b, c\)滿足： \(\begin{cases}a|bc-1\\b|ca-1\\c|ab-1\end{cases}\)。