報名須知

請選擇以下感興趣的題目並繳交題目解答至報名表單。(作答狀況是讓我們了解你的程度最有效的方法喔)
報名截止日期為 2024/6/30（日）23:59 。
活動費用為每位學員新台幣8500元整，住宿費待定。(附上低收入戶證明，可繳交較少的報名費；同理，附上高收入戶證明，可繳交較多的報名費)。
預計招收人數為30~60人(並非實際確定招收人數，會依照報名踴躍狀況以及學生的程度來稍作做調整)，報名結束後並經過工作團隊審查，決定錄取名單。請錄取的學員於錄取名單公佈後一週內完成匯款。
如果你曾經獲選參加第二階段選訓營，則不需繳交解答。(解答部分就傳個空白檔案吧 :D)

題目

　　我們特意出了一些不需要數學定理及太深的數學背景便能夠作答的題目，因為我們期望能夠看到的是您的思路過程。然而即便如此，這些題目也並不一定是那麼地容易；事實上，在一題上面耗費幾個小時在更高等的數學和數學競賽中是常有的事情，建議您能先自己探索這些題目的有趣之處。您可以與同儕們討論交流，但請務必以自己的方式寫下證明過程。數學式建議使用 LaTeX 或使用 Word 的數學式編輯器，但記得要轉成 PDF 上傳。

A1

令$D(n)$為$n$寫成十進位後各位數的和，求所有正整數$n$使得$$n^2-D(n)^2+8D(D(n))=2024$$

A2

令$a_1,a_2,\dotsc,a_n$, $b_1,b_2,\dotsc,b_n$為兩組非嚴格遞減的非負整數，且$\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^n b_i =m>0$。
令$a'_i$為滿足$a_k\geq i$的$k$的數量，$b'_i$亦同。證明：若 $$a'_1\geq b'_1,$$ $$a'_1+a'_2\geq b'_1+b'_2,$$ $$\vdots$$ $$a'_1+\cdots+a'_n\geq b'_1+\cdots+b'_n,$$ 則 $$b_1\geq a_1,$$ $$b_1+b_2\geq a_1+a_2,$$ $$\vdots$$ $$b_1+\cdots+b_n\geq a_1+\cdots+a_n.$$

A3

求所有實數$a_1, a_2, \dots, a_n$使得 $$\begin{cases} \sqrt{a_1^3-a_2}=a_3-1\\ \sqrt{a_2^3-a_3}=a_4-1\\ \vdots\\ \sqrt{a_{n-1}^3-a_n}=a_1-1\\ \sqrt{a_n^3-a_1}=a_2-1 \end{cases}$$

C1

在平面上是否存在若干個點，滿足不論你怎麼將這些點分成$3$類，必定有其中兩點落在同一類，且他們在平面上的距離為$1$？

C2

有$n$個同學分成兩個班級，已知有些同學互相認識，且每個人只認識和其不同班的同學。已知對於任兩位同學，若他們共同認識某個同學，則他們共同認識恰兩個同學。證明：每個人都認識一樣多人。

C3

房東喬義翔擁有一條街，且街上有$n$棟房子，一開始都沒有住人。有一天有$n$個人想要和喬義翔租房子，於是他將$n$個人都先安置在$1$號房子裡（每個房子裡容納的人數沒有上限）。
每一次，他可以將一個租客搬到後面的其中一個房子，但在任一時刻，對於$1\leq i\leq n-1$，$i$號房子內的租客數量都不少於第$i+1$號房子內的租客數量。每一次移動租客，喬義翔都會獲得$1$元。
證明：若$n= \binom{m}{2}+k$, $0\leq k< m$, $m\in \mathbb{N}$，則喬義翔至多只能獲得 $2\binom m3 +mk$ 元。

G1

三角形 $ABC$，$\angle BAC$ 的內角平分線交 $ABC$ 外接圓於 $M$，$P$ 為 $ABC$ 外接圓上任一點。 $AM$ 交 $BP$ 於 $Q$，$AC$ 交 $MP$ 於 $K$，試證明 $KQ$ 平行 $BC$。

G2

三角形 $ABC$，內切圓切 $BC, CA, AB$ 於 $D, E, F$。$AEF$ 外接圓交 $ABC$ 外接圓於 $P$，$PD$ 交 $ABC$ 外接圓於 $M$。試證明 $AM$ 平分角 $BAC$

G3

平面中三直線$\ell_1,\,\ell_2,\,\ell_3$共點，三直線$m_1,\,m_2,\,m_3$共點，且六線皆相異。對於$i,j=1,2,3$，令$X_{ij}$為$\ell_i$與$m_j$的交點，證明$$X_{23}X_{32},\,X_{31}X_{13},\,X_{12}X_{21}\text{共點}$$

N1

證明對於所有整數$a$，都只存在有限多個整數$x$不等於$-a$，使得$$x+a\mid x^2+2x+6$$

N2

設$n$是正奇數，$a_1, a_2, \dots, a_n$都是奇數，證明：$$\gcd(a_1, a_2, \dots, a_n)=\gcd\left(\frac{a_1+a_2}2, \frac{a_2+a_3}2, \dots, \frac{a_{n-1}+a_n}2, \frac{a_n+a_1}2\right)$$

N3

試決定是否存在至少為二次的有理係數多項式$f$，使得若$a,b$為相異實數且滿足$f(a)=f(b)$，則$a,b$中必有無理數。